A Tal da Física
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Laboratório · Mecânica · Gravitação

Mecânica celeste

A Terra gira em torno do Sol porque a gravidade puxa o tempo todo para o centro. Esse puxão é a força centrípeta da órbita. Mude a distância e a velocidade e veja quando a órbita é um círculo, quando vira elipse e quando o planeta escapa.

Distância—
Velocidade—
F gravitacional—
Tempo—
F gravitacional
m·v²/r

Planetas

1,00× é a velocidade exata da órbita circular; √2 ≈ 1,41× é a de escape
Repare: muda a força, mas não muda a órbita

As equações do modelo

A gravidade como força centrípeta

1. Gravitação universal

Fg = G · M · m / r²

Newton: o Sol (massa M) atrai o planeta (massa m) com uma força que cai com o quadrado da distância. G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg².

2. Força centrípeta

Fcp = m · v² / r = m · ω² · r

Para andar em círculo, o corpo precisa de uma força resultante apontando para o centro. Ela não é uma força nova: alguém tem que fazer esse papel.

3. Órbita circular

G·M·m / r² = m·v² / r  ⇒  v = √(G·M / r)

Na órbita, a gravidade é a força centrípeta. A massa m do planeta cancela: Júpiter e uma pedrinha na mesma distância andam com a mesma velocidade. Para a Terra, v ≈ 29,8 km/s.

4. Período

T = 2·π·r / v

Uma volta completa tem comprimento 2πr. Com r = 1,50 × 10¹¹ m e v = 29,8 km/s, sai T ≈ 365 dias.

5. 3ª lei de Kepler

T² / r³ = 4·π² / (G·M)

Juntando 3 e 4: a razão T²/r³ é a mesma para todos os planetas do Sol. Medindo T em anos e r em UA, ela vale 1.

6. Velocidade de escape

vesc = √(2·G·M / r) = √2 · vcircular

Abaixo da circular, a gravidade sobra e o planeta cai para dentro (elipse). Acima, falta gravidade e ele se afasta (elipse maior). A partir de √2, não volta mais.

O outro movimento circular da Terra

Rotação: quem está no equador anda a 1 670 km/h

Cada ponto da superfície descreve um círculo em torno do eixo, de raio R·cos φ. Parte da gravidade é gasta como força centrípeta, e o peso aparente fica um pouco menor. E se o dia fosse bem mais curto?

São Paulo fica perto de 23° S; o equador é 0°, os polos 90°
Uma volta completa leva 23 h 56 min (dia sideral)

Onde o modelo simplifica

Limites

  • Só existem a estrela e um planeta. Os outros planetas puxam de leve e fazem a órbita real girar e oscilar ao longo de séculos.
  • A estrela fica parada. Na verdade os dois giram em torno do centro de massa, que no caso Sol–Júpiter fica logo acima da superfície do Sol.
  • As órbitas reais já são elipses um pouco achatadas (a da Terra varia de 147 a 152 milhões de km). Aqui a Terra começa em órbita circular.
  • Na rotação, a Terra é tratada como esfera perfeita e g = 9,81 m/s² sem rotação. A Terra real é achatada nos polos, o que muda mais um pouco o g.